Planos existentes en R

En geometría, un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; son conceptos fundamentales de la geometría junto con el punto y la recta.
Cuando se habla de un plano, se está hablando del objeto geométrico que no posee volumen, es decir bidimensional, y que posee un número infinito de rectas y puntos. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies en diferentes posiciones. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana o en otras superficies que son regularmente tridimensionales.
Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior a ella.
• Dos rectas
  • Dos rectas paralelas.
  • O dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por un par ordenado, llamados abscisa y ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números reales ordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto del plano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números. En coordenadas polares por un ángulo y una distancia. Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.
El área es una medida de extensión de una superficie, o de una figura geométrica plana expresada en unidades de medida denominadas Unidades de superficie. Para superficies planas el concepto es más intuitivo. Cualquier superficie plana de lados rectos, por ejemplo un polígono, puede triangularse y se puede calcular su área como suma de las áreas de dichos triángulos. Ocasionalmente se usa el término "área" como sinónimo de superficie, cuando no existe confusión entre el concepto geométrico en sí mismo (superficie) y la magnitud métrica asociada al concepto geométrico (área).

*

• Entre un plano Π cualquiera y una línea perpendicular al mismo existe un número infinito de planos tal que contienen a la línea y son perpendiculares al plano Π.*

Curvas y superficies de nivel

El conjunto de parejas ordenadas x,y se llama dominio de la función y el conjunto de valores correspondiente a z se llama contra dominio, rango, ámbito. Una función de dos variables se escribe z = “f(x,y) de x, y”.

Las variables x, y se denominan variables independientes y z la variable dependiente.
La gráfica de una función Z es una superficie del espacio tridimensional. El potencial electrostático en un punto P(x,y) del plano debido a una carga puntual unitaria, colocada en el origen está dada por:



Donde C es una constante positiva, las líneas o curvas equipotenciales son círculos alrededor de la carga y se les denomina curvas del nivel

Las curvas de nivel se usan en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración.
En los mapas meteorológicos o climáticos, las curvas de nivel se llaman isotérmicos (cuando la temperatura es constante: isotérmico), en un mapa meteorológico que represente la presión atmosférica se les llama isobalos (presión barométrica constante).  

APLICACIONES DE LAS CURVAS DE NIVEL

Una vez elaborado el mapa topográfico con la representación gráfica del relieve del terreno por medio de las curvas de nivel, podemos utilizar el mismo de diferentes maneras en la planificación y ejecución de obras civiles, usos agrícolas y pecuarios, ordenamiento territorial, planificación, etc. 

Un mapa topográfico bien elaborado constituye una base de información indispensable en la planificación, ejecución y control de todo proyecto. 

De un mapa topográfico con curvas de nivel podemos determinar la cota o elevación de cualquier punto sobre el plano, la pendiente entre dos puntos, estimar los volúmenes de corte y relleno de material requeridos en la ejecución de una

obra, proyectar trazado de vías, etc. 

 

1. Resumen: Quien se ha llevado mi queso?

El libro trata sobre dos hombresillos y dos ratones a los que les gusta el queso, ambas parejas de compañeros tienen queso en cantidades razonables, el problema para ambas es que llega un punto en el que el queso empieza a disminuir, los ratones llegna a la conclusion que al paso en el que van se acabara por completo el queso asi que es momento de buscar mas caminos y encontrar mas queso en otros lugares para esto  es necesario adentrarse al laberinto, por el contrario los otros dos amigos no piensan mucho en esto, el asunto solo llega a incomodar a uno de ellos quien es el que opta por buscar mas queso en otros lugares, el otro aferrado en que no es necesario esforzarce ni preocuparse por el problema se queda donde mismo, los ratones encuentran queso en otros lugares apesar de que batallaron para hacerlo puesto que un laberinto tiene muchos caminos sin salida llegan a su destino encontrando el preciado queso, el hombre auqnue llega tarde consige el mismo resultado, aunque un poco tarde puesto que noto que alguien mas ya habia estado en los lugares donde el apenas llegaba.

A mi parecer este libro nos habla sobre no quedarse estancado donde mismo ni haciendo lo mismo por mucho tiempo si esto no nos trae resultados, el laberinto se puede entender como obstaculos en la vida y el queso como el exito.

Ecuación paramétrica

En matemáticas, una ecuación paramétrica permite representar una o varias curvas o superficies en el plano o en el espacio, mediante valores arbitrarios o mediante una constante, llamada parámetro, en lugar de mediante una variable independiente de cuyos valores se desprenden los de la variable dependiente. Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y la velocidad de un móvil.

Un ejemplo de una curva definida por ecuaciones paramétricas es la curva mariposa.

 

Descripción

En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la variable dependiente, con el valor de ésta siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera equivale a la expresión .
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de x en y, es decir que todos los valores x tengan un valor y sólo un valor correspondiente en y. No todas las curvas cumplen con dicha condición. Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto x como y son considerados variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como «parámetro».

Ejemplo

Sea la ecuación general de una recta, entonces caben las ecuaciones paramétricas: , .¹

Otro ejemplo

Dada la ecuación , una parametrización tendrá la forma
Una parametrización posible sería
Se debe destacar que para cada curva existen infinitas parametrizaciones posibles. Una en donde x e y equivaliesen a y sería igualmente válida. La diferencia sería que, para encontrar un punto determinado (a, b) de la curva, el valor del parámetro sería diferente en cada caso. Con el ejemplo dado, el punto (2, 4) de la curva aparecería en la primera parametrización cuando t = 2, y en el segundo cuando U = 1.

                                       Coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesiano se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distanicas dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes x e y respectivamente. El origen es el punto donde se intersectan los dos ejes coordenados.
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando coordendas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (q) y una distancia (r). Para medir q, en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.
Si queremos localizar un punto (r,q) en este sistema de coordenadas, lo primero que tenemos que hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación q y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.
A continuación localizamos varios puntos en el plano polar.
Observa que hay tres circunferencias, todos los puntos sobre estas circunferencias tienen una distancia al polo igual al radio de ella. Lo único que hace falta es encontrar el ángulo de inclinación. Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.
Como ves los ángulos pueden ser negativos dependiendo de cómo se midan a partir del eje polar,
también podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo, la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio negativo. Por ejemplo:
Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema de coordendas polares, podemos graficar funciones y no solo puntos.
En este tipo de funciones la variable independiente es q y la dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(q). El método para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la función r = r(q) en coordenadas rectangulares y apartir de esa gráfica trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la dependencia de r con respecto a q.
Recordemos que q es la variable independiente y va de 0 a 2p generalmente. Por ejemplo la función r = q tiene como gráfica en rectangulares

A la izquierda vemos que el radio depende linealmente con el ángulo, es decir que el radio crecerá y tomará los mismos valores que el ángulo. Y a la derecha tenemos esta gráfica en coordenadas polares se ve claro esta dependencia del radio con el ángulo. A esta gráfica se le llama Espiral de Arquímedes

Mostraremos a continuación algunas gráficas en coordendas polares.
r = sen(2q)

r = sen(3q)
r = sen(4q)
r = sen(5q)
Hasta aqui hemos visto que las funciones del tipo r = sen(aq) son rosas o rosetas. El número de pétalos depende del valor de a, si a es par, el número de pétalos es 2a; y si a es impar el número de pétalos es a.
Para graficar estas funciones en el cuaderno o en el pizarrón se puede hacer una tabulación sólo con algunos valores de q que casi siempre son: 0, p/2, p, 3p/2, 2p. y ver cómo cambia el valor de r.
r = 1- sen(q)

Aquí observamos que el radio siempre es positivo y va de 1 a 2.

Movimiento rectilíneo uniforme

Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.

En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.

Posición

La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).

Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.

Velocidad

La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por

Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo Dt tan pequeño como sea posible, en el límite cuando Dt tiende a cero.

Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.

Caída Libre

Se conoce como caída libre cuando desde cierta altura un cuerpo se deja caer para permitir que la fuerza de gravedad actué sobre el, siendo su velocidad inicial cero.
En este movimientos el desplazamiento es en una sola dirección que corresponde al eje vertical (eje "Y").
Es un movimiento uniformemente acelerado y la aceleración que actúa sobre los cuerpos es la de gravedad representada por la letra g, como la aceleración de la gravedad aumenta la velocidad del cuerpo, la aceleración se toma positiva.
En el vacío, todos los cuerpos tienden a caer con igual velocidad.
Un objeto al caer libremente está bajo la influencia única de la gravedad. Se conoce como aceleración de la gravedad. Y se define como la variación de velocidad que experimentan los cuerpos en su caída libre. El valor de la aceleración que experimenta cualquier masa sometida a una fuerza constante depende de la intensidad de esa fuerza y ésta, en el caso de la caída de los cuerpos, no es más que la atracción de la Tierra.
Todos los cuerpos con este tipo de movimiento tienen una aceleración dirigida hacia abajo cuyo valor depende del lugar en el que se encuentren. los cuerpos dejados en caída libre aumentan su velocidad (hacia abajo) en 9,8 m/s cada segundo .
La aceleración de gravedad es la misma para todos los objetos y es independiente de las masas de éstos.
En la caída libre no se tiene en cuenta la resistencia del aire. Si se desprecia la resistencia del aire y se supone que aceleración en caída libre no varía con la altitud, entonces el movimiento vertical de un objeto que cae libremente es equivalente al movimiento con aceleración constante.

 

Una característica importante en la caída de los cuerpos es que todos experimentan la misma aceleración de su movimiento al caer, de tal forma que dos objetos que caen de la misma altura alcanzarán la misma velocidad. Esa aceleración, provocada por la fuerza de gravedad se representa por la letra "g" y se llama aceleración de la gravedad, cuyo valor aproximado  es 9,81 m/s² . Esto significa que un cuerpo  que  cae  va  aumentado su velocidad  9,81 m/s por segundo en cada segundo.

Este valor de la gravedad no es el mismo sobre  todos los lugares de la Tierra, ya que depende de la latitud y la altura sobre el nivel del mar. Tiene su  mayor valor en los polos, donde es  igual a 9,83 m/s², mientras en que la zona ecuatorial es igual a 9,78 m/s². Se ha reconocido como valor promedio 9,81 m/s². Estas variaciones del valor causan a su vez, pequeñas variaciones de peso en un cuerpo al pasar éste de un lugar a otro de la Tierra.

 Movimiento Parabólico

Cuando un objeto es lanzado con cierta inclinación respecto a la horizontal y bajo la acción solamente de la fuerza gravitatoria su trayectoria se mantiene en el plano vertical y es parabólica.

Nótese que estamos solamente tratando el caso partícular en que factores como la resistencia del aire, la rotación de la Tierra, etc., no introducen afectaciones apreciables. Vamos a considerar también que durante todo el recorrido la aceleración debido a la gravedad ( g ) permanece constante y que el movimiento es sólo de traslación.

Para facilitar el estudio del movimiento de un proyectil, frecuentemente este se descompone en las direcciones horizontal y vertical. En la dirección horizontal el movimiento del proyectil es rectilíneo y uniforme ya que en esa dirección la acción de la gravedad es nula y consecuente, la aceleración también lo es. En la dirección vertical, sobre el proyectil actúa la fuerza de gravedad que hace que el movimiento sea rectilíneo uniformemente acelerado, con aceleración constante.

Sea un proyectil lanzado desde un cañón. Si elegimos un sistema de referencia de modo que la dirección Y sea vertical y positiva hacia arriba, a _y = - g y a _x = 0. Además suponga que el instante t = 0, el proyectil deja de origen (X _i = Y _i = 0) con una velocidad V_i.

Si Vi hace un ángulo qi con la horizontal, a partir de las definiciones de las funciones sen y cos se obtiene:

V_xi = V_i cos θ
Vyi = V_i sen θ_i

Como el movimiento de proyectiles es bi-dimencional, donde a_x = 0 y a_y = -g, o sea con aceleración constante, obtenemos las componentes de la velocidad y las coordenadas del proyectil en cualquier instante t, con ayuda de las ecuaciones ya utilizadas para el M.R.U.A. Expresando estas en función de las proyecciones tenemos:

X = V_xit = Vi cos θ_i t
y = V_yi t + ½ at²
V_yf = V_yi + at
2ay = V_yf² - V_yi²

Si un proyectil es lanzado horizontalmente desde cierta altura inicial, el movimiento es semi-parabólico.

Las ecuaciones del movimiento considerando Vyi = 0 serían:

X = V_xi t

y = y_o - ½ gt²

Recomendamos la realización de la práctica virtual Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad, donde se puede estudiar tanto el movimiento parabólico como el semi-parabólico.

Combinando las ecuaciones arriba explicadas para el movimiento parabólico podemos algunas obtener ecuaciones útiles:

- Altura máxima que alcanza un proyectil:

- Tiempo de vuelo del proyectil:

- Alcance del proyectil :

Atendiendo a esta última ecuación, invitamos al lector a demostrar que para una velocidad dada el máximo alcance se logra con una inclinacion de 45o respecto a la horizontal.

Movimiento circular uniforme

El Movimiento Circular Uniforme es aquel en el que el móvil se desplaza en una trayectoria circular (una circunferencia o un arco de la misma) a una velocidad constante. Se consideran dos velocidades, la rapidez del desplazamiento del móvil y la rapidez con que varía el ángulo en el giro.

 

El movimiento circunferencial uniforme es aquel cuya trayectoria es una circunferencia y cuya rapidez es constante. La figura 4 representa esta situación para un automóvil que está dando vueltas en una rotonda.

Es importante notar que en este caso, y en relación al centro de la trayectoria, el módulo de  corresponde al radio de la circunferencia, es decir,  . La velocidad es en todo instante perpendicular a  , es decir,  ^  y su módulo, por tratarse de un movimiento uniforme, es constante, es decir,  = constante.